Projekt 2.1 Historisk - Kvadrering af polygoner
At kvadrere en figur betyder at konstruere et kvadrat med samme areal som den givne figur. I projektet arbejder man sig gennem en række øvelser frem til at kunne kvadrere alle polygoner, samt også figurer som ”halvmåner”. Det bestyrkede mange i den fejlagtige opfattelse, at man kan kvadrere en cirkel. Projektet kan således give en forholdsvis let tilgængelig perspektivering af den indledende fortælling i kapitel 5.

Projekt 2.2 Historisk - Archimedes beregning af π-redigeres (på vej)
Archimedes anvendte en slags intervalruse til at bestemme tallet π. For en give cirkel, fx med radius 1, konstruerede han indskrevne og omskrevne regulære polygoner. Starter vi med en ligesidet trekant, så kan vi beregne omkredsen af den indskrevne og den omskrevne. Herefter fordobles antal sider i de omskrevne figurer til 6, 12, 24 osv og kan vi beregne omkredsen i hvert tilfælde får vi en række tal, der må nærme sig tallet π.

Projekt 2.3 Historisk - Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
I 1635 udsender den franske matematiker Cavalieri et værk om nye metoder til beregning af areal og rumfang. Han siger, at plane figurer består af uendeligt mange lodrette linjer, hver for sig uden bredde, og rumlige figurer kan anskues som en stabel af uendeligt mange planer, der hver for sig ikke har nogen tykkelse. Dette er helt i tråd med Euklid, men hvordan får man et areal ud af linjerne, og et rumfang ud af planerne? Cavalieri havde en vigtig pointe: En uendelig sum af uendeligt små størrelser kan godt give noget endeligt.

Projekt 2.4 Historisk - Wallis løsning af cirklens kvadratur
Wallis beslutter sig for at lægge den klassiske opgave, hvor passer og lineal er eneste tilladte hjælpemidler, bag sig, fordi arbejdet med at løse denne tilsyneladende umulige opgave skygger for praktiske spørgsmål som fx at bestemme cirkelarealer. Med Wallis forlader vi geometriens æra og går ind i algebraens og analysens æra.

Projekt 2.5 Normalen og det mindste areal for et andengradspolynomium
Normalerne til en graf er de linjer, der går gennem et punkt på grafen og i dette punkt står vinkleret på tangenten. Normalen vil ofte sammen med grafen afskære et område, der har et areal. I dette lille projekt bestemmes det mindste areal, når grafen er et andengradspolynomium.

Projekt 2.6 Pi can never be expressed in numbers
William Jones var samtidig med Newton og en regneteknisk begavelse somk denne. Det er Jones, der indfører symbolet for pi og som samtidig når frem til, at ”pi er ikke et tal”. Hermed mente han, at pi ikke kan udtrykkes ved hjælp af de kendte fuinktionsudtryk og regneregler. I sit værk referer han til en særlig algoritme, fundet af den samtidige matematiker John Machin til beregning af tilnærmelser til pi. Denne algoritme undersøges nærmere, både med autentiske, historiske og med mere moderne metioder

Projekt 2.7 Integrationsteknik - Anvendelser af delvis integration
Før værktøjernes tid var det et almindeligt udtryk i matematikundervisningen, at differentiation er håndværk, men integration er kunst. Der findes ingen færdig opskrift på integration af en sammensat funktion, som der gør for differentiation. Men særlige tilfælde kan klares med substitution. Der findes ingen regel for integration af produkter, som der findes en produktregel i differentialregning. Men særlige tilfælde kan klares med ”delvis integration”. Projektet er et koncentreret opgaveforløb om metoden

Projekt 2.8 Fakultetsfunktionen, gammafunktionen og chi i anden-fordelingen
Fakultetsfunktionen er defineret ved, at . Definitionsmængden er altså mængden af naturlige tal. Tegnes et plot af de første funktionsværdier ser, at funktionsværdierne vokser meget hurtigt. Samtidig kan man godt forestille sig at disse punkter forbindes med en graf, hvor definitionsmængden udvides til alle tal. Og det kan faktisk lade sig gøre ved hjælp af integralregningen. Denne udvidelse af fakultetsfunktionen introducerer en ny vigtig funktion, som kaldes gammafunktionen. Det viser sig bl.a. at denne funktion spiller en central rolle i funktionsudtrykket for chi-i-anden fordelingerne.

Projekt 2.9 Taylorpolynomier og Taylorrækker
Newton havde ikke ret i, at alle funktioner kan skrives som et - evt. uendeligt grads – polynomium. Men han tog heller ikke direkte fejl. I 1715 fremlagde Brook Taylor en generel metode til at tilnærme tilstrækkeligt pæne funktioner med polynomier. Denne metode har haft mange praktiske anvendelser, da funktionsværdier af polynomier er lette at beregne og ikke mindst fordi beregningerne er lette at implementere på regnemaskiner. Men den har også mange nyttige teoretiske konsekvenser. Vi ser i projektet nærmere på metoden, beviser formlerne for Taylorudviklingen og udleder metoder til at vurderer restleddet, når vi kun tager endeligt mange led med. Projektet afrundes med en af de spektakulære anvendelser: Beviset for at tallet e er irrationalt.

Projekt 2.10 Historisk - Harald Bohr Om Logaritme og Eksponentialfunktionen
(Læsning af en kildetekst – Harald Bohr om Logaritme- og eksponentialfunktionen) I projektet læses – helt eller delvist – Harald Bohrs foredrag fra 1939 om historien bag logaritme- og eksponentialfunktionen samt om opbygningen af disse funktioner. I foredraget sammenlignes den rent analytiske indføring af disse funktioner (som det gøres på A-niveau) med den mere intuitive og håndværksmæssige tilgang (som vi har anvendt på C og B-niveau). Forskellige tilgange giver også øget indsigt i emnet, og i foredraget møder vi en helt ny måde at karakterisere funktioner på, nemlig via funktionalligninger, hvilket er ligninger, der udtrykker noget helt essentielt og faktisk ”identitetsskabende” ved en funktion.

Projekt 2.11 Arealer for andengradspolynomier - eksperimenter og bevis
Et eksperimentelt forløb, hvor man opdager nogle sammenhænge for arealer bestemt af andengradspolynomier og deres tangenter, og hvor man efterfølgende udfordres til at formulere disse opdagelser i sætninger og til at bevise sine påstande.

Projekt 2.12 Arealer for tredjegradspolynomier - eksperimenter og bevis
Et eksperimentelt forløb, hvor man opdager nogle sammenhænge for arealer bestemt af tredjegradspolynomier og deres tangenter, og hvor man efterfølgende udfordres til at formulere disse opdagelser i sætninger og til at bevise sine påstande.

Projekt 2.13 Arealer for fjerdegradspolynomier - eksperimenter og bevis
Et eksperimentelt forløb, hvor man opdager nogle sammenhænge for arealer bestemt af fjerdegradspolynomier og deres tangenter, og hvor man efterfølgende udfordres til at formulere disse opdagelser i sætninger og til at bevise sine påstande.

Projekt 2.14 Rektangulær byplanlægning
Et centralt element i enhver byplanlægning er at opstille modeller for befolkningstallets udvikling i relation til byens geografiske struktur. I dette lille anvendelsesorienterede projekt undersøger vi to forskellige sådanne modeller for en byplanlægning og sammenligner disse

Projekt 2.15 Miniprojekt om stamfunktion til tangens
Stamfunktionen til tangens kan findes ved en elegant anvendelse af substitution. Projektet lægger op til, at eleven forklarer hvert trin, og kan fx anvendes som en lektie

Projekt 2.16 Matematik-Fysik - Beregning af inertimoment
Ved retlinede bevægelser er det alene massen, der afgør hvor stor hastigheden bliver, når der tilføres en bestemt mængde energi. Ved rotation betyder også udstrækningen af legemet noget for, hvor stor rotationshastigheden bliver. Alle kender billedet af en skøjteløber, der laver en piruette ved at starte med en langsom omdrejning med udstrakte arme, og dernæst øger sin vinkelhastighed ved at trække armene ind til kroppen. Når der er tale om rotation erstattes masse med inertimoment i bevægelsesligningerne. Projektet drejer sig om, hvordan man beregner dette inertimoment.

Projekt 2.17 Matematik-Fysik - Potentiel energi af en homogen kugle som solen
Potentiel energi afhænger af masse og afstand til tyngdepunktet. Men hvordan udregnes den samlede potentielle energi af en kugle? Hvis stjerner og planeter dannes af kugleformede støvskyer, der trækker sig sammen, kan vi så beregne den energi der frigives under sammentrækningen – og måske tænder for en stjerne?

Projekt 2.18 Historisk - Keplers bestemmelse af vintønders rumfang
Da Kepler i 1613 oplever en vinbonde måle rumfanget af vintønder, der havde forskellig form, med brug af blot én målestok, kaster han sig ud i et omfattende studie af, hvordan man egentlig beregner sådanne rumfang. I B-bogens projekt 4.5 gik vi i Keplers fodspor og undersøger hans oprindelige talmateriale og de formler, han når frem til. I dette projekt ser vi mere generelt på beregning af rumfang ved hjælp af tværsnit. I projektet møder vi også Simpsons formel og andre specialiteter fra integralregningen.

Projekt 2.19 Integrationsteknik – brug af de omvendte trigonometriske og de omvendte hyperbolske funktioner
Differentiation er en succeshistorie. Har man lært at differentiere alle de simple funktioner og lært de forskellige regneregler for differentiation, specielt sammensat differentiation, kan man differentiere et hvilket som helst udtryk opbygget af simple funktioner. Med integration forholder det sig helt anderledes. Før værktøjernes tid var det et almindeligt udtryk i matematikundervisningen, at differentiation er håndværk, men integration er kunst. Nogle af de snedige integrationsteknikker til at klare udtryk med fx kvadratrødder involverer de omvendte trigonometriske og hyperbolske funktioner.

Projekt 2.20 Integrationsteknik - partialbrøksmetoden
Den første familie af funktioner, man lærer at integrere, er polynomier. Ved hjælp af substitution kan man også klare ganske bestemte polynomiumsbrøker. Men det viser sig, at man principielt kan bestemme stamfunktioner til alle polynomiumsbrøker. Integrationsteknikken, der anvendes, kaldes partialbrøksmetoden.

Projekt 2.21 Ægyptisk matematisk - pyramidestub og cirkelareal
I projektet gennemføres beregningen af rumfanget af en pyramidestub samt beregningen af arealet af en cirkel på to måde, henholdsvis som det skete i den ægyptiske matematik og det vi gør det i moderne matematik. De to metoder diskuteres og sammenlignes. De to emner, rumfang og areal behandles uafhængigt af hinanden, så projektet kan deles op i to.

Projekt 2.22 Historisk - Newtons beregning af rumfanget af prismer
Et prismatoid er et polyeder afgrænset af to parallelle polygoner som endeflader, hvor polygonerne ikke behøver at have samme antal hjørner. Man kan tænke på et prismatoid som en 3-dimensional generalisation af et trapez. Et eksempel herpå er en pyramidestub og projektet starter også med en undersøgelse af ægypternes formel for rumfanget af en sådan figur. Newton generaliserede formlen for en pyramidestub til en formel for et vårligt prismatoid. Projektet knytter endelig an til Simpsons integrations formel.