Projekt 5.1 - De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuitet
Kontinuitet og undersøgelse af kontinuerte funktioners egenskaber repræsenterer et område af matematikken, der på samme tid er intuitivt indlysende og hører til det vanskeligste at få styr på. De største matematikere har gennem de sidste 300 år argumenteret ud fra intuition – og har samtidig ofte taget fejl. Skæringssætningen, der siger, at en kontinuert funktion, der i ét punkt er negativ, i et andet er positivt, den må have et nulpunkt et sted imellem de to, er emnet for dette projekt.

Projekt 5.2 - Grænseværdi og kontinuitet - klassisk og moderne
Efter mange tilløb af andre store matematikere lykkedes det for den tyske matematiker Karl Weierstrass (1815-1897) at give en holdbar beskrivelse af, hvordan man håndterer uendeligt små størrelser. Metoden er gået over i matematikhistorien under navnet ε – δ metoden. I projektet gør vi os fortrolige med metoden gennem en række øvelser

Projekt 5.3 - De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
De to hovedsætninger om kontinuerte funktioner anvendes igen og igen, ofte uden man tænker videre over det. Det skyldes, at de er intuitivt indlysende. Men samtidig er de overraskende vanskelige at bevise. Den første hovedsætning, eller sætningen om mellemliggende værdier er bevist i kapitel 1. Den anden, maks-min sætningen, bevises i dette projekt. Projektet er bygget op som et opgaveforløb, hvor læseren via en række øvelser selv når frem til at vise sætningen.

Projekt 5.4 - Den størt mulige firkant bestemt ved hjælp af differentialregning
Givet 4 sidelængder, a, b, c og d ud fra hvilke, der kan konstrueres en firkant - hvilken af alle de mulige firkanter har da størst areal? Dette er undersøgt i kapitel 1 med geometriske metoder. Her vil problemet nu blive undersøgt med anvendelse af differentialregning

Projekt 5.5 - Glat sammenstykning med brug af tredjegradskurve
Når to forskellige niveauer, hvor tilkørselsveje måske har forskellige hældninger, skal forbindes med et stykke af en bro, så kan vi med hjælp fra tredjegradspolynomier lave en glat sammenstykning.

Projekt 5.6 - Vindenergi (på vej)


Projekt 5.7 - Hovedsætninger om differentiable funktioner - et opgaveforløb
Projektet rummer Rolles sætning, middelværdisætningen og monotonisætningen, som eleverne selv arbejder med, og dertil et omfattende opgaveforløb om de tre sætninger, hvor man både arbejder med praktisk opgaveløsning og med at vise yderligere teoretiske sætninger.

Projekt 5.8 - Differentialkvotienten af en brøk (brøkreglen) - Et lille forløb om matematiske beviser
Der gives tre forskellige beviser for brøkreglen i dette miniprojekt, og det kan derfor anvendes i forløb, hor man vil sætte fokus på bevisteknik.

Projekt 5.9 - Keplers vintønder - Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse hos Archimedes og Kepler
Da Kepler i 1613 oplever en vinbonde måle rumfanget af vintønder, der havde forskellig form, med brug af blot én målestok, kaster han sig ud i et omfattende studie af, hvordan man egentlig beregner sådanne rumfang. Vi går i Keplers fodspor og undersøger hans oprindelige talmateriale og de formler, han når frem til.

Projekt 5.10 - Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb om modellering
Dette er et oplæg til underviseren om en mulig udformning af et eksperimenterende forløb, hvor der er fokus på modellering og repræsentationsformer. Oplægget indeholder materialer og forslag, som man kan klippe fra til sit veget forløb. Det kan realiseres i flere faglige sammenhænge – vægt på geometri, vægt på symbolhåndtering, vægt på anvendelse af værktøjer, vægt på at illustrere differentialregningens muligheder osv. Der er givet eksempler fra alle disse felter.

Projekt 5.11 - Usains Bolts løbemønster
I projekt 3.3 analyserede vi Usain Bolts løbemønster med brug af polynomisk regression. Her inddrager vi differentialregning, idet den aflede funktion til distancen giver hastigheden, mens den dobbelt afledede giver accelerationen, dvs ændringen i hastigheden. Projektet kan udvides ved at gennemføre det i samarbejde med idræt

Projekt 5.12 - Den korteste normal - introduktion til indhyldningskurver (evolutter))
En indhyldningskurve til et bundt af linjer er en ny kurve med den egenskab, at alle linjer er tangenter til kurven. I projektet undersøges dette begreb nærmere med udgangspunkt i standardparablen.

Projekt 5.13 - Design en optimal flaske - en optimeringsopgave med fri fantasi
Projektet er i sit oplæg identisk med projekt 1.3, men her kobler vi differentialregning på i optimeringsfasen. Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres energidrik, under et nyt navn og i en ny og smart flaske. Flasken skal designes ud fra bestemte geometriske modeller, og den skal produceres med et minimalt materialeforbrug. Klassen arbejder i teams og hver kommer deres bedste bud på en løsning. Som støtte for projektet ligger der i et bilag en omfattende formelsamling over rumfang og overfladearealer.

Projekt 5.15 - Introduktion til induktionsbeviser
Et induktionsbevise er en særlig matematisk teknik til at bevise formler, der gælder for alle naturlige tal – eller for alle naturlige tal fra et vist trin. Man kan populært sige, at induktionsbeviser er den formelle matematiske argumentation bag ”osv.”. Projektet er bygget op som et klassisk matematisk forløb med sætninger, beviser og opgaveregning, og er således velegnet til supplerende stof

Projekt 5.16 - L'Hopitals regel - et opgaveforløb
Grænseværdien af en brøk findes som brøken bestående af nævnerens og tællerens grænseværdier, medmindre begge bliver 0, eller begge går mod uendelig. l’Hôpitals regel udtaler sig om, at i sådanne tilfælde kan man se på de første eller højere ordens afledede af tæller og nævner. Projektet er tilrettelagt som et opgaveforløb, hvor man selv når frem til at vise sætningerne.

Projekt 5.17 - Weierstrass sætning - et bevis (på vej)
Kontinuerte funktioner præsenteres i første omgang som funktioner hvis graf kan tegnes som en udbrudt og sammenhængende kurve. I undersøgelsen af fraktaler i HEM2, kapitel 0, afsnit 2 bliver dette billede brudt noget op: Vi præsenteres for kurver, der er kontinuerte, men ikke differentiable i noget punkt. Og kurver der er så krølle-de, at deres dimension er betydeligt over linjers dimension på 1. Alligevel er der grænser for galskaben. Weierstrass beviste, at mængden af polynomier ligger tæt i mængden af kontinuerte funk-tioner, på samme måde som de rationale tal ligger tæt i mængden af reelle tal: En given kontinuert funktion kan tilnærmes vilkårlig tæt med polynomier.

Projekt 5.18 - Størrelsesorden for funktionerne a^x, x^a og ln(x)
I projektet får man dels et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels bevises, at blandt standardfunktionerne dominerer eksponentialfunktioner uanset størrelsen af grundtallet altid over både potens- og logaritmefunktioner, mens potensfunktioner uanset størrelsen af potensen altid dominerer over logaritmefunktioner. Projektet er et lille stykke deduktiv matematik og er bygget op således, at elever – med en vis vejledning – selv kan arbejde sig igennem øvelserne og bevise sætningerne.

Projekt 5.19 - Definition og differentiation af omvendt funktion
De to klassiske eksempler på funktioner, der har omvendte funktioner, er kvadratrodsfunktionen sammen med funktionen , samt den naturlige eksponentialfunktion sammen med den naturlige logaritmefunktion. I projektet studerer vi omvendte funktioner generelt, og viser blandt sætningen om differentiation af omvendte funktioner.

Projekt 5.20 - Fra differentialregningens historie - Simpsons metode til at bestemme maksimum og minimum (på vej)