Projekt 7.1 - Ovaler - Matematisk model for Peterspladsen
De store pladser og store bygninger i centrum blev konstrueret efter bestemte geometriske mønstre. Fx blev Peterspladsen i Rom er bygget op omkring ovaler. I projektet undersøger vi konstruktionen af sådanne pladser med brug af et geometriprogram.

Projekt 7.2 - Vektorers beskrivelseskraft
I den klassiske plangeometri kendes en række sætninger om egenskaber ved midtnormaler, højder og medianer, fx at medianerne i en trekant skærer hinanden i ét punkt, og at dette punkt deler hver median i forholdet 2:1. Med indførelsen af vektorer får vi ofte et mere ligetil – og mere elegant – argument for disse påstande. Projektet lægger op til, at man både gennemfører klassiske geometriske beviser og vektorielle beviser, og sammenligner disse. Projektet indeholder en introduktion til vektorernes historie og en perspektivering til vektorer i rummet, specielt i undersøgelsen af tetraederet.

Projekt 7.3 - Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Givet 4 sidelængder, ud fra hvilke, der kan konstrueres en firkant - hvilken af alle de mulige firkanter har da størst areal? Dette er undersøgt i B-bogen med geometriske metoder. Her vil problemet nu blive undersøgt med anvendelse af differentialregning.

Projekt 7.4 - Kvadrering af toleddet størrelse - kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering er en metode (og ikke en formel) til løsning af 2. gradsligninger. I det lille projekt arbejder vi os frem til at forstå og anvende metoden.

Projekt 7.5 - Ellipser - brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
I Hvad er matematik? 2 undersøgte vi i den indledende fortælling til kapitel 7 ellipsens egenskaber og udledte bl.a. ellipsens ligning. I dette projekt studeres ellipsen ud fra dens parameterfremstilling, hvilket bl.a. giver en meget enkel tilgang til at undersøge tangenterne. I projektet bevises, at en brændstråle, der udsendes fra det ene brændpunkt og som reflekteres når den rammer ellipsen, vil gå ned i det andet brændpunkt. I de såkaldte nyrestensknusere, der er omdrejningsellipsoider, anvendes denne egenskab til at skabe en sådan koncentration af lydenergi, at en nyresten kan pulveriseres uden noget operativt indgreb.

Projekt 7.6 - Ellipsens brændstråler og Keplers anden lov
I projektet udleder vi en formel for brændstrålernes længde og med afsæt heri undersøger vi Keplers anden lov. Undervejs i projektet støder vi på Keplers ligning, der er et af de tidligste eksempler på en såkaldt transcendent ligning, der ikke kan læses med traditionelle midler. Meget moderne matematik er udviklet med henblik på at kunne håndtere løsningen af bl.a. Keplers ligning på anden vis. En af idéerne går ud på at løse ligningen iterativt.

Projekt 7.7 - Løsning af vektorligninger med determinantmetoden
Når vi løser flere lineære ligninger med flere ubekendte fx 2 ligninger med 2 ubekendte svarer det til at løse en vektorligning. Ved hjælp af vektorregning viser vi en løsningsmetode, der giver mulighed for umiddelbart at skrive en løsning op ved hjælp af determinanter. Metoden kan generaliseres til n ligninger med n ubekendte.

Projekt 7.8 - Lineær algebra - moderne og klassigsk kinesisk
Løsning af lineære ligningssystemer blev først for alvor sat i system i den vestlige matematik af Gauss omkring år 1800. Herfra regner vi grundlæggelsen af den lineære algebra. Men løsningsmetoden har været kendt meget længe før Gauss. 500 år før udviklede kinesiske matematikere alle de afgørende algoritmer, idet de indså at det alene er koefficienterne til de ubekendte, der er afgørende. Og det er faktisk de samme metoder, der er implementeret i CAS-programmer, når disse løser lineære ligningssystemer med den generelle solve-kommando.

Projekt 7.9 - Matricer - Forberedelsesmaterialet 2011
Projektet består af et forberedelsesmateriale til studentereksamen fra de såkaldte netforsøg, og rummer dels en indføring i matrixregning, og specielt en introduktion med mange øvelser til anvendelsen af matricer i studiet af populationers udvikling. Projektet kan deles op i mindre portioner. I den sidste del introduceres begrebet egenværdier og egenvektorer.

Projekt 7.10 - Miniprojekt om ellipsens tangenter og areal
I dette miniprojekt konstrueres en ellipse som en fladtrykt cirkel. Fladtrykningen er en skalering, og ud fra denne konstruerer vi yderligere ellipsens tangenter, bestemmer hældningskoefficienten og giver et geometrisk argument for allipsens areal.

Projekt 7.11 - Miniprojekt om punkters beliggenhed i forhold til en linje
En plan opdeler rummet i to halvrum. Og en linje opdeler planen i to halvplaner. Givet et tilfældigt punkt – hvordan afgøres i hvilket halvrum eller halvplan punktet ligger – uden at tegne!

Projekt 7.12 - Trekanters linjer undersøgt med analytisk geometri
Et opgaveforløb, hvor vi kommer rundt om højderne, medianerne, midtnormalerne og vinkelhalveringslinjerne i en trekant. Vi indfører koordinater og parameterfremstillinger, bestemmer skæringspunkter ved at løse ligninger, og efterviser de klassiske geometriske sætninger.

Projekt 7.13 - Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner
Et punkts beliggenhed på Jordkloden angives normalt med breddegrad og længdegrad, dvs. med vinkler. Inddrager vi rummet og ønsker at beskrive eksempelvis satellitters positioner, tilføjes en tredje koordinat, afstanden til centrum. Linjestykker mellem to punkter på en kugle er stykker af cirkelbuer, der repræsenterer den korteste afstand mellem punkterne. Herved kan vi definere trekanter, længder og vinkler og udvikle en trigonometri på kuglen. Projektet rummer også en introduktion til kortprojektioner, og beviser at det er umuligt at tegne præcise kort.

Projekt 7.14 - Ellipsen og dens brændpunkter: Dandelins store opdagelse
En kegle kan ligne en isvaffel. Den belgiske matematiker gennemførte ræsonnementer vedr. ellipsens geometriske egenskaber ved bl.a. at betragte to kugler, der ligger nede i keglen, en under og en over ellipsens skrå snit, og som hver netop rører ellipsen. Hans bevis for, at summen af brændstrålernes længder er konstant, er derfor blevet kaldt for iskagebeviset. Dandelins konstruktion og ræsonnement kan generaliseres og anvendes på alle keglesnittene.

Projekt 7.15 - Papirfoldningskonstruktion af en ellipse
Sætningen om, at summen af brændstrålerne er konstant, giver anledning til den såkaldte papirfoldningskonstruktion af en ellipse. I dette mini projekt argumenteres også rent geometrisk for, at brændstråler spejles i randen og rammer det modsatte brøændpunkt

Projekt 7.16 - Perspektivgeometri
Et centralperspektivisk billede er en todimensionel gengivelse af et tredimensionelt motiv, og gengivet sådan som det ser ud fra en beskuer placeret et bestemt sted i forhold til motivet. I projektet gives en introduktion til de grundlæggende begreber og metoder i tegning og i afkodning af et perspektivisk billede. Projektet indeholder en afsluttende sammenhængende øvelse, hvor man bestemme både afstande og vinkler i det oprindelige tredimensionale motiv, alene ved at foretage målinger på det flade todimensionale billede.

Projekt 7.17 - Vektorer i 3d og analytisk rumgeometri
I Hvad er matematik? bog 1 og 2 har vi behandlet vektorer og analytisk geometri i 2D. Det er forholdsvis let at se, at mange af metoderne og resultaterne må kunne generaliseres til 3 dimensioner – og flere! Men i 3D kommer der også nye fænomener. Det giver fx ikke mening at tale om en tværvektor, da uendeligt mange vektorer er ortogonale til en given. Men har vi to vektorer kan vi udvikle en metode til at bestemme en vektor vinkelret på de to. Dette er det såkaldte krydsprodukt. Projektet er skrevet med en tæt kobling mellem 2D, som eleverne kender og det nye 3D, så eleverne kan selv arbejde med emnerne, gå på opdagelse og selv nå frem til at bevise egenskaberne.