Projekt 5.1 Historisk – Feltrationer til en millionhær i krig
I optakten til 2. verdenskrig har den amerikanske hær kun i meget begrænset omfang inddraget matematik og naturvidenskab. En række matematikere, der kan se, hvor det bærer hen, etablerer derfor deres egen organisation, The Applied Mathematics Panel (AMP). Det varer dog ikke længe før de inddrages i områder som kodebrydning, ballistik, udvikling af radarsystemer og i operationsanalyse som drejer sig om udvikling af modeller til håndtering af komplekse problemer vedrørende logistik i industrien og militæret. Sådanne logistiske problemer kan beskrives ved en række lineære ligninger og uligheder, og løsningen på et sådant problem drejer sig derfor om at løse sådanne store ligningssystemer, normalt under visse betingelser der fx siger noget om ressourcer. I projektet har vi fokus på et centralt spørgsmål i krigsførelsen: Hvordan sikrer man næringsrige feltrationer til en millionhær i krig?

Projekt 5.2 Cobb Douglas-funktioners særlige egenskaber
I grundbogen vises, at Cobb-Douglas funktioner har den egenskab, at de to eksponenter kan tolkes som henh. produktionselasticiteten mht. kapitalen og produktionselasticiteten mht. arbejdskraften. I projektet vises det modsatte: Hvis en funktion f af to eller flere variable opfylder elasticitetsligningerne, og er homogene, så er det en Cobb-Douglas funktion. Vi viser yderligere, at forholdet mellem eksponenterne er lig med forholdet mellem honoreringen af arbejdskraft og af kapitalen

Projekt 5.3 Historisk – Da lineær programmering blev født
Projektet indeholder to amerikanske artikler, dels en kildetekst af Dantzig, dels en oversigtsartikel om udviklingen af lineær programmering og simpleksmetoden. Sammen med teksterne ligger der en række spørgsmål, der kan danne udgangspunkt for et fagligt samarbejde med samfundsfag, historie eller engelsk, enten på et hold eller som studieretningsprojekter.

Projekt 5.4 Lineær programmering i to variable
Mange optimeringsproblemer inden for virksomhedsøkonomi eller vedrørende håndtering af logistikken inden for store organisationer involverer et stort antal uafhængige variable. En vej at gå kunne være generalisere differentialregningen til funktioner af flere variable. Men når der er tale om virkelig mange variable, måske hundrede eller flere, er det i praksis ikke en farbar vej. De metoder, man anvender idag, blev udviklet i årene efter 2. Verdenskrig, hvor ikke mindst udviklingen af computere med deres enorme regnekraft åbnede for at finde løsninger ved hjælp af procedurer, der kunne programmeres. Det skabte en ny matematisk disciplin, lineær programmering, som idag har fundet omfattende anvendelser. Vi kan godt få et indtryk af metoden via opgaver med bare to variable.

Projekt 5.5 Andengradspolynomier i to variable
For andengradspolynomier i en variabel findes der kun én prototype . Alle andre parabler fremkommer af denne ved hjælp af simple geometriske transformationer. For andengradspolynomier i to variable er der tre prototyper: Den elliptiske paraboloide, Den parabolske cylinder, og Den hyperbolske paraboloide. I projektet beviser vi denne struktursætning for simple andengradspolynomier af to variable, dvs polynomier, hvor forskriften ikke indeholder blandede led.

Projekt 5.6 Kvadratisk programmering i to variable
I lineær programmering ser vi på lineære kriteriefunktioner i to variable. I virkelighedens verden vil kriteriefunktionen dog også ofte være ikke-lineær, fx kvadratisk. Den kvadratiske programmering er særlig vigtig, fordi man i mange tilfælde vil kunne erstatte en ikke-lineær kriteriefunktion med et approksimerende andengradspolynomium og stadigvæk bibeholde væsentlige træk ved modellen. Graferne for sådanne kriteriefunktioner er ellipser, og I projektet undersøges hvordan elliptiske kurver fiorskydes hen over polygonområder.

Projekt 5.7 Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable
I lineær og i kvadratisk programmering undersøges og optimeres funktioner af flere variable ved hjælp af lineære eller kvadratiske kriteriefunktioner. Det naturlige næste skridt er at udvide dette til generelle funktioner af to variable. Men så opstår der behov for nye matematiske metoder. Det er emnet for dette projekt, der introducerer nye begreber som implicit differentiation og Langrange-multiplikatorer. Nogle af disse emner kan også skilles ud som små projekter inden for teorien om funktioner af flere variable.

Projekt 5.8 Ligningen for tangentplanen – bevis for sætning 8
I beviset for sætningen om tangentplanen til en kurve i et bestemt punkt introduceres begrebet krydsprodukt af to vektorer. Krydsproduktet er en ny vektor, ortogonal på de to, der var udgangspunktet og som ligger i planen. Krydsproduktet er dermed ortogonal til planen, og herefter kan ligningen udledes på samme måde som i 2d.

Projekt 5.9 Funktioner med partielle afledede behøver ikke være differentiable
En funktion af to variable kan have retningsafledede i alle retninger uden at være differentiabel! Problemet med denne tilgang er nemlig, at den er én-dimensional. Der findes uendeligt mange forskellige måder hvorpå man kan nærme sig et punkt i planen – rette linjer, parabelbuer, spiraler og en masse vi ikke har ord for. Men uanset hvilket kurve, så vil de aldrig fange det todimensionale. Dette illustreres i dette projekt om differentiabilitet.

Projekt 5.10 Gradienterne står vinkelret på niveaukurverne– bevis for sætning 7
I projektet giver vi to beviser for sætningen. Det første er et geometrisk bevis, der bygger på, at tangentlinjen til niveaukurven fremkommer som skæring mellem tangentplan og højdeplan. Herefter udnyttes vores viden om ligningen for tangentplanen, jfr projekt 5.8. Det andet bevis er analytisk: Vi argumenterer for, at niveaukurven lokalt er graf for en reel funktion, og finder dernæst den afledede ved sammensat differentiation. Det udtryk, der her fremkommer giver resultatet.

Projekt 5.11 De blandede afledede er ens– bevis for sætning 10
Et af de måske mest overraskende resultater i den indledende undersøgelse af differentiabilitet af funktioner af to variable er, at de blandede afledede er ens, blot de partielle afledede er kontinuerte. Den grundlæggende ide i beviset er: Først at opstille det samme udtryk, der kombinerer differenserne mht 1. variabel og mht 2. variabel, i to forskellige varianter. Og dernæst at anvende middelværdisætningen på disse udtryk.

Projekt 5.12 Arten af stationære punkter - bevis for sætning 5.11 om anden ordens test
Projektet lægger ud med en intuitivt gennemført argumentation for, at pæne funktioner kan tilnærmes med deres Taylor-rækker. Det gælder i både én og i flere dimensioner. Det matematiske værktøj til at nå fra det approksimerende Taylorpolynomium til ’Anden ordens testet’ er nu simpelthen vores viden om diskriminantens betydning for andengradspolynomiers fortegn.

Projekt 5.13 Mat-Fys: Optimering af elektriske kredsløb med kvadratisk programmering
Strømmen i et elektrisk kredsløb fordeler sig på en sådan måde at den afsatte elektriske effekt er minimal, hvilket også kan tolkes som at strømmen følgen den vej, der ’yder den mindste modstand’. Studiet af elektriske kredsløb kom på forunderlig og lidt tilfældig måde til at blive flettet sammen med udviklingen af kvadratisk programmering. Men projektet er også interessant i sig selv – Vi behandler en række typer kredsløb med stigende kompleksitet – parallelkoblinger, brokoblinger, Wheatstones bro og tetraederkoblinger