Projekt 7.4 En fortælling om rationale og reelle tal - Euklids æbleplantage og Fareytræet
Umiddelbart kan det være svært at forstå at der ikke er flere rationale tal end naturlige tal, men det er fordi vi organiserer dem efter størrelse. Der findes andre vigtige måder at organisere de rationale tal på, hvor deres tællelige struktur fremstår tydeligt. I denne fortælling organiseres de rationale tal via en beplantning i en æbleplantage, og dette leder igen til en ny visualisering af et træ, hvor vi både har de rationale og de irrationale tal ”placeret”. Projektet giver en overkommelig indføring i uendelighedernes besynderlige verden

Projekt 7.5 Cantors djævletrappe
Cantors Devils Staircase er grafen for en funktion, konstrueret ud fra Cantors støvmængde. Denne konstrueres ved at fjerne først den midterste tredjedel af [0;1], dernæst fjerne den midterste tredjedel af de to tilbageværende intervaller. Dernæst fjernes de midterste tredjedel af de intervaller, der er tilbage osv osv. Det viser sig sværere end man først skulle tro at finde ud af hvilke tal, der er med i støvmængden. Funktionsværdien i det første interval, der blev fjernet er 1/2, i de næste to, der fjernes er 1/4 og 1/3 osv. Men hvad betyder osv. her? Det betyder bl.a. at Djævletrappen rejser sig langsomt som vi bevæger os frem i [0;1]. Er det en sammenhængende graf? Er den integrabel?

Projekt 7.7 Harald Bohr - Riemann og Lebesguemålene
(Læsning af en kildetekst: Harald Bohr, En punktmængdes mål, om Riemann og Lebesgue) I moderne matematik har man brug for et mere forfinet mål for længder og arealer end det klassiske, hvor man eksempelvis forsøger at overdække et område i planen med stadigt mindre kvadrater og dernæst summere arealerne af de, der ligger inden i punktmængden. Det klassiske mål er ikke egnet til at beskrive, hver meget eller hvor lidt ”sære” mængder, fraktaler osv fylder. I et foredrag fra 1917 fortæller Harald Bohr om helt nye ideer og metoder på dette område, som netop er udviklet af den franske matematiker Lebesgue, og i sin pædagogiske fremstilling sammenligner han dette med den klassiske metode opkaldt efter den tyske matematiker Riemann.

Projekt 7.8 Finding mean and average values
Middeltallet af en række tal lærer man allerede at beregne i folkeskolen – man dividerer summen med det samlede antal. Et bestemt integral er grænseværdi af en sum over stadigt flere arealer af hver for sig stadigt mindre områder. Med dette udgangspunkt har vi i Grundbogen argumenteret for, at middeltallet for en funktion defineret på et interval må defineres ud fra det bestemte integral over intervallet. I projektet arbejdes med en række eksempler på dette. Projektet er engelsksproget.

Projekt 7.9 Kontinuumshypotesen - da Hilberts hotel nåede grænsen
I Grundbogen fortælles der om, hvordan Cantor opdagede, at der er forskellige slags uendelighed. Der er ”lige mange” rationale tal og hele tal, men mængden af reelle tal er uendeligt meget større. Dette illustreres med fortællingen om Hilberts hotel, hvor der tilsyneladende altid er plads til en til. Men da gæsterne begynder at danne udvalg på kryds og tværs og vil have lokaler til at holde møder, så går det galt. Vi undersøger, hvorfor hotellet når en grænse ved det tilsyneladende lille ekstra krav – og finder her en ”trappestige” mod stadig nye grader af uendelighed.

Projekt 7.11 Børge Jessen om polyedres rumfang
(Læsning af en kildetekst: Børge Jessen: Polyedres rumfang) I plangeometri kan arealer af polygoner bestemmes gennem opdeling af figuren i trekanter. Der gælder yderligere, at disse trekanter ved geometriske metoder kan omformes til et rektangel med samme areal. Dette er behandlet i B-bogens projekt 5.12. Man kunne tro, at det samme var muligt i 3d, dvs at man for et givet polyeder kan opdele dette i tetraedre, og at man kan konstruere en (muligvis skæv) kasse (et parallel-epipedum), der har samme rumfang som disse tetraedre. Spørgsmålet indgik som nr 3 i Hilberts berømte 23 uløste problemer, og det var det første der blev løst. Svaret er nej – det er ikke muligt at generalisere til 3D. Projektet består af læsning af et foredrag holdt for matematiklærere, hvor dette bevis gennemgås.

Projekt 7.12 Uniform kontinuitet og eksistensen af arealer
Dette projekt handler om det oftest oversete problem i arbejdet med at give differential- og integralregningen fast grund under fødderne, nemlig spørgsmålet om eksistensen af de arealer, vi taler om. Ikke alle punktmængder har arealer, men områder under graferne for kontinuerte funktioner har. Beviset for dette er netop beviset for, at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. For at nå frem til beviset må vi introducere et nyt begreb, uniform kontinuert.

Projekt 7.15 Skrå kast med skru - analyse af golfslag
Når en bold kastes, eller sendes afsted ved at give den et skru, så træder pludselig nye fysiske kræfter ind på banen, der gør den matematiske modellering til en helt anden og mere udfordrende opgave end modelleringen af det almindelige skrå kast. I projektet introduceres en numerisk løsning af differentialligninger med hjælp af den såkaldte Runge Kutta metode, og samtidig ligger der data fra et golfslag, så man kan sammenligne den teoretiske løsning med det empiriske datasæt.

Projekt 7.17 Simpsons formel
Før værktøjernes tid blev der udviklet mange metoder til at løse integraler. Simpsons formel fra 1743 forklarer, hvorledes bestemte integraler af andengradspolynomier kan beregnes blot man kender funktionsværdien i endepunkterne og i midtpunktet. Selv om det kun handler om andengradspolynomier er den forbløffende anvendelig.

Projekt 7.22 Modellering af influenzalignende epidemier med SIR-modellen
En influenzaepidemi er repræsentativ for en række smitsomme sygdomme, hvor populationen opdeles i raske endnu ikke smittede, syge og raske, der er blevet immune. Gennem opstilling af modellen af – eller for alle naturlige tal fra et vist trin. Man kan populært sige, at induktionsbevise tre koblede differentialligninger vil vi diskutere betydning af modellens parametre. På baggrund af den vundne teoretiske indsigt vil vi arbejde med et konkret datamateriale fra en influenzaepidemi i et bestemt distrikt i New York og forsøge at modellere epidemiens udvikling.