Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation.
Et projekt om manglerne i Euklids aksiomsystem og om Hilberts moderne aksiomsystem fra omkring år 1900, der havde som mål at udbedre disse mangler.

Projekt 10.2 Euklidisk tankegang i europæisk kulturhistorie
Den euklidiske tankegang har påvirket hele den europæiske kulturkreds. Projektet omfatter både ek-sempler fra Euklids forgængere indenfor filosofi og litteratur – Aristoteles logik og Homers Iliade – og ek-sempler på sådanne skelsættende værker med tydelige Euklidiske fingeraftryk som Spinozas etik, New-tons optik, Den amerikanske uafhængighedserklæring og Russels og Whiteheads Principia Mathematica.

Projekt 10.3 Terningens fordobling - Regning med passer og lineal
I projektet ser vi nærmere på, hvilke regneoperationer, der kan klares med passer og lineal. Man kan uddrage kvadratrødder, men ikke tredjerødder. I forsøget på at løse dette blev der skabt en ny verden, med kurver som parabler, hyperbler og ellipser.

Projekt 10.4 Videnskabsteori - Lakatos og Eulers polyedersætning
Den ungarske matematiker Imre Lakatos var en af de største formidlere af matematik i det 20. århundre-de, og samtidig en af de store videnskabsteoretikere. Han var påvirket af Platons dialoger, men udvikler denne dynamisk på en måde, så han demonstrerer, hvordan gamle rammer for matematik sprænges og ny erkendelse opstår. Hans dialog om Eulers polyedersætning er en klassiker i matematikhistorien. I pro-jektet vil du møde fyldige uddrag af bogen.

Projekt 10.5 Achilleus og skildpadden
Begrebet uendelighed har til alle tider udfordret matematikere og filosoffer, men begrebet spiller også en rolle i andre fag som fx religion. Projektet undersøger den gamle fortælling om Achilleus og skildpad-den. Diskussionen om uendelighedsbegrebet rummer en diskussion om forholdet mellem matematik og virkelighed.

Projekt 10.6 Brecht og Galilei
Naturfilosofien er skrevet i den store bog, som for evigt ligger for vore øjne, skrev Galilei og tilføjede: Bo-gen er skrevet i det matematiske sprog, og symbolerne er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer, uden hvis hjælp det er umuligt at forstå et eneste ord af den, uden hvilket man tomt vandrer gennem en mørk labyrint. Men er vi åbne overfor at læse i bogen? Den tyske forfatter Bertolt Brecht var meget opta-get af dette videnskabshistoriske og – filosofiske stof, og skrev i 1938/39 da han var på flugt fra nazismen, stykket Leben des Galilei. I projektet læses uddrag heraf, samt af de senere versioner Brecht lavede.

Projekt 10.7 Babyloniernes astronomiske tabeller - Saros-cyklen
Babylonierne opdagede, at der er et mønster i de måneformørkelser, som systemet med Solen, Jorden og Månen skaber med kortere eller længere mellemrum. Hele geometrien i dette system gentages efter en periode på 18 år, 11 dage og 8 timer, eller angivet i antal døgn: Efter 6585,3 døgn. Denne periode kal-des Saros-cyklen. I projektet vil vi ud fra forskellige beregninger diskutere, hvordan de kan have fundet ud af dette.

Projekt 10.8 Fastlæggelse af påsken og andre kalenderproblemer
Det har altid voldt problemer at lave en kalender. Årstal er jo tal, der tælles ud fra et udgangspunkt. Hvor-dan bliver vi enige om et fælles udgangspunkt? Og hvad er et år? Selv om de forskellige ikke kunne måle så nøjagtigt, så vidste alle, at årets længe er mellem 365 og 366 døgn. Når dette skulle udmøntes i en ka-lender skete det på mange forskellige måder. Dette og problemet med fastlæggelsen af en dato for på-sken er emnet for dette projekt.

Projekt 10.9 Fagligt samarbejde om verdensbilleder
I dette projekt lægges op til et fagligt samarbejde om verdensbilleder. Projektet rummer forslag til et samlet forløb, samt en lang række kildematerialer med tekster af de forskellige aktører og tilhørende arbejdsark med spørgsmål. Man kan vælge elementer ud og arbejde dem igennem i hele klassen eller dele op i hold, som så vælger hver sit emne.

Projekt 10.10 Archimedes Sandtælleren
I Sandtælleren argumenterer Archimedes for, at der i hele universet ikke findes noget, der er uendeligt stort, selv om vi ofte bruger dette begreb. Han gør dette ved hjælp af et tankeeksperiment, hvor hele universet fyldes med det mindste man kan forestille sig, nemlig sandkorn. Naturligvis findes der mange ting i naturen, der er mindre end et sandkorn, men det er let at se, at hans argument kan udstrækkes til hvad som helst, der er mindre. Undervejs har han brug for en lang række vurderinger af størrelser og størrelsesforhold, og han indfører et helt nyt og genialt talsystem.

Projekt 10.11 Det udelukkedes tredjes princip
Dette princip eller aksiom siger, at for en given påstand gælder altid, at enten er påstanden sand eller den modsatte påstand er sand. Der er ikke en tredje mulighed. Selv om man i daglig tale har et begreb som halvdød, så er der ingen tilstand midt imellem. Men gælder det i alle spørgsmål?

Projekt 10.12 Euklids algoritme og inkommensurabilitet
Det største hele tal, som går op i 105 og 154 er tallet 7. Givet to hele tal, så eksisterer altid et største tal, som går op i begge. Men hvordan findes det, hvis de to givne tal er meget store? Det er et vigtigt problem i moderne kodning og kryptologi. Opgaven blev løst af Euklid. Hans metode kaldes i dag for Euklids algo-ritme. I projektet undersøger vi Euklids algoritme og ser på hvorfor den virker. Vi oversætter problemet fra talteori til geometri, og opdager her en sammenhæng med spørgsmålet om inkommensurable størrel-ser. Projektet kan udbygges til et samarbejde med religion eller filosofi om Oresmes og andre store mid-delalderteologers overvejelser om inkommensurabilitet.

Projekt 10.13 Serlios søjleordner og spiralkonstruktioner
I 1500 tallet udgav den italienske arkitekt Sebastiano Serlio De syv bøger om arkitektur, hvor han i alle de-taljer fastlagde regler for byggeri. Værket er skrevet så den kunne anvendes som en manual af samtidens håndværkere, og den er samtidig tydeligt inspireret af Euklids Elementer. I projektet vil vi arbejde med en af detaljerne heri, nemlig konstruktion af spiraler, der har været et mønster, menneskene har brugt til alle tider.

Projekt 10.14 Byernes pladser konstrueret som ovaler
De store pladser og store bygninger i centrum blev konstrueret efter bestemte geometriske mønstre. Fx blev Peterspladsen i Rom er bygget op omkring ovaler. I projektet undersøger vi konstruktionen af så-danne pladser med brug af et geometriprogram.

Projekt 10.15 Mandatfordelinger undersøgt med geometriske metoder
I et repræsentativt demokrati repræsenteres borgerne af en valgt forsamling, der styrer samfundet, regi-onen, kommunen osv. En retfærdig fordeling af mandaterne viser sig at være vanskeligere, end man umiddelbart skulle tro. Det kræver en hel del matematik at forstå problemerne. I projektet opbygger vi en geometrisk matematisk model for mandatfordelingen for bedre at kunne undersøge og forstå problemet.

Projekt 10.16 Mandatfordeling ved kommunalvalg
I loven om mandatfordeling ved kommunale valg hedder det: Det samlede stemmetal for hvert valgfor-bund, divideres med 1, 2, 3 osv., indtil der er foretaget et så stort antal divisioner som det antal mandater, der højst kan ventes at tilfalde valgforbundet. Det valgforbund, der har den største af de fremkomne kvo-tienter, får det første. Den næststørste kvotient giver ret til det andet mandat og så fremdeles. I projektet vil vi oversætte den sproglige form til formler og undersøge problemerne i mandatfordelingen ud fra konkrete eksempler.

Projekt 10.17. Vikingeborgenes geometriske konstruktion
Vikingeborgene, der blev bygget for 1000 år siden, må være konstrueret ud fra geometriske modeller. Ellers ville man ikke have kunnet bygge så præcist og symmetrisk. Vi har ikke nogle skriftlige overleverin-ger, der kan fortæller om deres metoder. Men ud de forskellige mål, dels for hele borganlægget, dels for langhusene, så kan vi afprøve forskellige teorier og forsøge at genskabe en borgkonstruktion i et dyna-misk geometriprogram. Projektet er velegnet både som en dek af et fagligt samarbejde, og som et rent matematisk projekt. Det indeholder et materiale om ellipsens geometri og konstruktion.