Projekt 8.1 - Module regning
Vi anvender moduloregning og restklasser mange gange om dagen, nemlig når vi taler om, hvad klokken er. Når tiden udmåles i timer, regner vi modulo 24 (eller 12), og når tiden udmåles i minutter regner vi modulo 60. Vi siger ikke, at klokken er 80 minutter over 10, men at den er 20 minutter over 11. Når klokken passerer midnat, tæller vi ikke videre på tallinjen med 25, 26 osv., men forfra – om natten er klokken 1, 2 osv. Regning med restklasser er et centralt element i moderne talteori og dermed i kryptologi. I projektet gives en første indføring i moderne algebra med en præsentation af gruppeteorien.

Projekt 8.2 - Secret sharing - med moduloregning (på vej)


Projekt 8.3 - Archimedes algoritme til bestemmelse af pi (på vej)
Tallet pi er lig med forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Hvis diameteren er 1, er omkredsen altså pi. Dette fik allerede i oldtiden Archimedes til at overveje, om man ikke kunne beregne pi ved en intervalruse af tal, der nærmer sig tallet pi henh. nedefra og oppefra. Nedefra kommer en følge af tal, der er omkredsen af indre polygoner i cirklen, og oppefra kommer tilsvarende omkredsen af ydre polygoner.

Projekt 8.4 - Eksperiment vedrørende residual spredning
I kapitel 2 fra bog 1 argumenterede vi med et simulationseksperiment for, at spredningen for en stikprøve giver et bedre estimat på populationens spredning, hvis vi i udtrykket for stikprøvespredningen dividerer med n-1 og ikke n. I dette projekt vil vi med samme strategi argumentere for, at udtrykket for stik-prøvens residualspredning giver et bedre estimat for populationens residualspredning, hvis vi dividerer med n-2 og ikke n.

Projekt 8.5 - Formlen for den lineære regression
Teoretisk projekt, hvor vi udleder formlen for lineær regression y=a*x+b ved skiftevis at differentiere mht a og mht b.

Projekt 8.6 - Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable
Optimeringsopgaver løses traditionelt ved, at man – ved hjælp af en bibetingelse – omformer problemet til et, hvor der kun indgår én variabel. Men der findes naturligvis metoder til at bestemme maks og min af funktioner af flere variable. I vores rejse ind i denne verden af funktioner af flere variable opstår der behov for nye matematiske metoder, der samtidig har en værdi, der rækker ud over det specifikke projekt her. Afsnittene om implicit differentiation, om gradientvektorer og om Langrange-multiplikatorer kan således både indgå i et større samlet projekt, eller læses særskilt, som små projekter inden for teorien om funktioner af flere variable.

Projekt 8.7 - Polynomiers division (på vej)


Projekt 8.8 - De omvendte trigonometriske funktioner (på vej)


Projekt 8.9 - Den vibrerende streng - Stående bølger
Når man sætter en streng i svingninger, så vil strengen vibrere og sende bølger frem og tilbage mellem strengens fæstningspunkter. Disse bølger vil interferere og nogle af bølgerne vil dø ud, mens andre vil forstærkes. Hvis strengen vibrerer med en ganske bestemt frekvens, en såkaldt resonansfrekvens, vil den forstærke sig selv og give anledning til en stående bølge. Vi dykker ned i matematikken bag dette og gør den overraskende opdagelse, at man kan adskille afhænhgigheden af tid og rum

Projekt 8.10 - Lagrangeinterpolation i algoritmisk form (på vej)


Projekt 8.11 - Additionsformlerne og de logaritmiske formler for sinus og cosinus
Additionsformlerne for sinus og cosinus er uundværlige i mange teoretiske sammenhænge, fx når man indfører polære koordinater for komplekse tal, eller når man indleder undersøgelsen af Fourieranalyse. Sammen med de såkaldte logaritmiske formler spillede de i matematikhistorien en stor rolle som hjælpeværktøjer i store beregninger, ikke mindst inden for astronomien. Formlerne udledes med brug af vektorregni8ing.

Projekt 8.12 - Newton Raphsons algoritme er supertiltrækkende (beskrivelse på vej)
De færreste ligninger kan løses eksakt. Det er måske lidt overraskende, men selv ligninger så simple som cos(x)=x kan ikke løses eksakt. Derfor er der gennem historien udviklet en masse metoder til at finde tilnærmede løsninger – eller det man kalder numeriske løsninger. Newton og hans samtidige Raphson udviklede en meget enkel metode, hvis man behersker differentialregning. Den er effektiv og hurtig. Men hvorfor virker den, og hvorfor er den så effektiv?