Projekt 1.1 vektorer og additionsformler
Additionsformlerne for sinus og cosinus er uundværlige i mange teoretiske sammenhænge, fx når man indfører polære koordinater for komplekse tal, eller når man indleder undersøgelsen af Fourieranalyse. Sammen med de såkaldte logaritmiske formler spillede de i matematikhistorien en stor rolle som hjælpeværktøjer i store beregninger, ikke mindst inden for astronomien. Formlerne udledes med brug af vektorregning.

Projekt 1.2 Den vibrerende streng – Stående bølger
Når man sætter en streng i svingninger, så vil strengen vibrere og sende bølger frem og tilbage mellem strengens fæstningspunkter. Disse bølger vil interferere og nogle af bølgerne vil dø ud, mens andre vil forstærkes. Hvis strengen vibrerer med en ganske bestemt frekvens, en såkaldt resonansfrekvens, vil den forstærke sig selv og give anledning til en stående bølge. Vi dykker ned i matematikken bag dette og gør den overraskende opdagelse, at man kan adskille afhængigheden af tid og rum

Projekt 1.3a Fourier Analyse – Opsplitning af en sammensat lyd
Overraskende mange forskellige fænomener kan beskrives ved hjælp af kombinationer af bølgefunktioner. Af og til meget komplekse som tidevandsbølger og bølger i et oprørt hav, eller som lydbilledet af en stor symfonisk koncert. Somme tider i en mere ren form som lys og andre elektromagnetiske bølger. Da den enkelte rene bølge kan modelleres med sinus eller cosinusfunktioner, som er lette at forstå og at håndtere matematisk, ville det være et stort skridt frem mht en matematisk modellering af naturlige fænomener, hvis vi kunne gennemskue, hvordan komplekse bølger er en sum af rene harmoniske svingninger. Det er dette Fourieranalyse kan gøre – på magisk vis afsløre hvilke simple komponenter som fx det komplekse lydbillede består af.

Projekt 1.3b Fouriertransformationer af funktioner og af datasæt
Dette projekt knytter sig til projekt 1.3a om Fourieranalyse. I værktøjsprogrammet Maple demonstreres, hvordan en vilkårlig funktion kan fouriertransformeres til en sum af sinus og cosinussvingninger. Og hvordan vi ud fra et tætliggende, men ellers vilkårligt datasæt kan frembringe dén fouriertransformerede funktion, hvis graf indeholder datasættet.

Projekt 1.3c Lille film om Fourieranalyse
Videofilmen, der med animationer fortæller, hvad fourieranalyse handler om, er fra det såkaldte ’Project Mathematics’, som havde rod på University of California, og som producerede en lang række undervisningsmaterialer til brug for ungdomsuddannelser og indledende universitetsundervisning. Filmen er på engelsk og varer knap 6 minutter.

Projekt 1.4 De omvendte trigonometriske funktioner
De omvendte trigonometriske funktioner spiller en stor rolle i integralregning og matematisk analyse. I projektet undersøger vi disse funktioner og udleder formlerne for de afledede funktioner af arccos, arcsin og arctan. Vi får et gensyn med modelleringen af regnbuen fra HEM2, kapitel 1. Dengang bestemte vi regnbuevinklen numerisk med et værktøj. Nu viser vi det analytisk som et optimeringsproblem i differentialregning.

Projekt 1.5 De hyperbolske funktioners egenskaber
De hyperbolske trigonometriske funktioner er defineret ud fra eksponentialfunktionen. De spiller en central rolle i modellering af bestemte fysiske systemer som kædelinjer. Derfor er det umiddelbart overraskende så mange fælles træk de har med de trigonometriske funktioner. Projektet dykker ned i dette. Og vi introducerer også de omvendte hyperbolske funktioner, der spiller en vigtig rolle i integrationsteori.

Projekt 1.6 Wavelets
Når det lykkes at opløse kontinuerte funktioner i en sum af sinus og cosinusfunktioner (med forskellige frekvenser) skyldes det, at denne familie af trigonometriske funktioner er indbyrdes ortogonale, på principielt samme måde som vektorer kan være ortogonale. Der er imidlertid mange andre familier af funktioner, der er indbyrdes ortogonale, og dette udnyttes bla. i teorien for wavelets. De basisfunktioner, vi her arbejder med, er tæt ved 0 næsten overalt, men svinger væk fra 0 i et lille interval om en bestemt frekvens. Hvis denne frekvens er en del af et komplekst lydsignal, så vil dette afsløres, når vi ved hjælp af integralregning projicerer det komplekse signal ned på pågældende basisfunktion. Wavelets anvendes fx i komprimering af data

Projekt 1.7 Callistos omløb bestemt ved sinus regression
Galilei var den første, der så månesystemet omkring Jupiter. Med sin kikkert var han i stand til at følge og registrere deres bevægelser, og vi har således hans data til rådighed. Hvis månerne bevæger sig med god tilnærmelse i jævne cirkelbevægelser rundt om Jupiter, så vil det, vi ser, være harmoniske svingninger frem og tilbage i baneplanet. I projektet undersøger vi Galileis data.